Si cambio de hosting, pierdo los mails que tengo en Gmail?

Buenas. Es para hacer la siguiente consulta:
Estoy apunto de cambiar de hosting en mi empresa y me dijeron de la empresa del nuevo host que tengo que guardar los mails que no quiera perder en la pc. Ahora bien, yo tengo los mails de la empresa sincronizados con Gmail. Es decir, me llegan a la cuenta de Gmail los mails de las cuentas que tengo personalizadas con el nombre de la compañía.
Si cambio el hosting teniendo esos mails en la bandeja de entrada de Gmail, los mismos también se perderían?? O una vez que los tengo ahí ya están "bajados" a Gmail.
Gracias de antemano :)